電気通信大学
2011年 理系 第3問
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初項が$a$で公比が$r$の等比数列を$\{a_n\}$とし,初項が$b$で公比が$s$の等比数列を$\{b_n\}$とする.数列$\{x_n\}$を
\[ x_n=a_n+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
で定義するとき,以下の問いに答えよ.
(1) $x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し,因数分解せよ.
(2) $x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し,因数分解せよ.
以下では,$r<s$とし,数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が \[ x_1=4,\ \ x_2=7,\ \ x_3=11,\ \ x_4=13 \] となる場合を考える.
[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め,数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ. [(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ. [(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ.
(1) $x_1x_3-x_2^2$と$x_2x_4-x_3^2$をそれぞれ$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し,因数分解せよ.
(2) $x_1x_4-x_2x_3$を$a,\ b,\ r,\ s$の式で表し,因数分解せよ.
以下では,$r<s$とし,数列$\{x_n\}$のはじめの$4$つの項が \[ x_1=4,\ \ x_2=7,\ \ x_3=11,\ \ x_4=13 \] となる場合を考える.
[(3)] $a,\ b,\ r,\ s$の値を求め,数列$\{x_n\}$の一般項を求めよ. [(4)] 数列$\{x_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めよ. [(5)] 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{x_n}{S_n}$を求めよ.
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