首都大学東京
2014年 都市教養(理系) 第2問
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空間内の$4$点$\mathrm{O}$,$\mathrm{A}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$について,どの$3$点も同一直線上にはないとする.また,正の実数$a,\ b$は$\sqrt{2}a<b<2a$を満たすとし,$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=\mathrm{OC}=a$,$\mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{CA}=b$とする.以下の問いに答えなさい.
(1) 三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい.
(2) 線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$上(ただし,端点を除く)にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{C}^\prime$があり,三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする.このとき,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい.
(1) 三角形$\mathrm{OAB}$は鈍角三角形であることを示しなさい.
(2) 線分$\mathrm{OA}$,$\mathrm{OB}$,$\mathrm{OC}$上(ただし,端点を除く)にそれぞれ点$\mathrm{A}^\prime$,$\mathrm{B}^\prime$,$\mathrm{C}^\prime$があり,三角形$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime \mathrm{C}^\prime$は正三角形であるとする.このとき,直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{A}^\prime \mathrm{B}^\prime$は平行であることを示しなさい.
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