上智大学
2015年 経済(経済),総合(教育,心理) 第2問
2
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$N$を$2$以上の整数とする.整数$a,\ b$に対し,演算$\oplus$を
\[ a \oplus b=\biggl( (a+b) \text{を}N \text{で割ったときの余り} \biggr) \]
と定める.例えば,$N=2$のとき,
\[ 0 \oplus 0=0,\quad 0 \oplus 1=1,\quad 1 \oplus 1=0,\quad 1 \oplus 3=0 \]
である.
(1) 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(ⅰ) $N=4$のとき,$a_3=\fbox{ヌ}$である.
(ⅱ) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}N+\fbox{ハ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\fbox{ヒ}$である.
(ⅲ) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\fbox{マ}$である.
(2) $N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える. \[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$\fbox{ミ}$の倍数となることである.
$N$が$\fbox{ミ}$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}N$である.
(1) 次の条件によって定められる数列$\{a_n\}$を考える. \[ a_1=1,\quad a_{n+1}=a_n \oplus (n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
(ⅰ) $N=4$のとき,$a_3=\fbox{ヌ}$である.
(ⅱ) $N \geqq 4$とする.
$N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\frac{\fbox{ネ}}{\fbox{ノ}}N+\fbox{ハ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N+1}=\fbox{ヒ}$である.
(ⅲ) $N$が偶数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\frac{\fbox{フ}}{\fbox{ヘ}}N+\fbox{ホ}$,
$N$が奇数のとき,$\displaystyle a_{N-1}=\fbox{マ}$である.
(2) $N$を偶数とし,$N=2M$と表す.ただし,$M$は自然数である.次の条件によって定められる数列$\{b_n\}$を考える. \[ b_1=1,\quad b_{n+1}=b_n \oplus (2n+1) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] このとき,$b_M=0$となる必要十分条件は,$N$が$\fbox{ミ}$の倍数となることである.
$N$が$\fbox{ミ}$の倍数でない偶数のとき,$\displaystyle b_M=\frac{\fbox{ム}}{\fbox{メ}}N$である.
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