愛知教育大学
2013年 理系 第7問
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$2$つの実数$a,\ b$は$|2a|-2<b<2$をみたしている.このとき,$x$の$4$次方程式
\[ x^4+ax^3+bx^2+ax+1=0 \hfill \cdots\cdots (\ast)\]
を考える.
(1) $x \neq 0$とする.$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき,方程式$(\ast)$を$z$で表せ.
(2) (1)で求めた$z$の方程式の解は,すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ.
(3) 複素数$\alpha=p+qi$($p,\ q$は実数)に対し,$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする.ただし$i$は虚数単位を表す.このとき,$4$次方程式$(\ast)$の解はすべて虚数で,それらの大きさはすべて$1$であることを示せ.
(1) $x \neq 0$とする.$\displaystyle z=x+\frac{1}{x}$とおくとき,方程式$(\ast)$を$z$で表せ.
(2) (1)で求めた$z$の方程式の解は,すべて絶対値が$2$以下の実数であることを示せ.
(3) 複素数$\alpha=p+qi$($p,\ q$は実数)に対し,$\sqrt{p^2+q^2}$を複素数$\alpha$の「大きさ」ということにする.ただし$i$は虚数単位を表す.このとき,$4$次方程式$(\ast)$の解はすべて虚数で,それらの大きさはすべて$1$であることを示せ.
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