原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$2$の円を$\mathrm{A}$とする．半径$1$の円（以下，「動円」と呼ぶ）は，円$\mathrm{A}$に外接しながら，すべることなく転がる．ただし，動円の中心は円$\mathrm{A}$の中心に関し反時計回りに動く．動円上の点$\mathrm{P}$の始めの位置を$(2,\ 0)$とする．動円の中心と原点を結ぶ線分が$x$軸の正方向となす角を$\theta$として，$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲で動かしたときの$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする． \imgc{104_2263_2013_2}
(1) $C$を媒介変数$\theta$を用いて表せ．
(2) $\mathrm{P}$の$y$座標が$\displaystyle \frac{1}{2}$のとき，$\mathrm{P}$での$C$の接線の傾きを求めよ．
(3) $C$の長さを求めよ．ただし，曲線$x=f(\theta),\ y=g(\theta) \ (\alpha \leqq \theta \leqq \beta)$の長さは \\ $\displaystyle \int_\alpha^\beta \sqrt{\left( \frac{dx}{d\theta} \right)^2+\left( \frac{dy}{d\theta} \right)^2} \, d\theta$で与えられる．