東京大学
2015年 理系 第2問
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どの目も出る確率が$\displaystyle \frac{1}{6}$のさいころを$1$つ用意し,次のように左から順に文字を書く.
さいころを投げ,出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,$4$のときは文字$\mathrm{B}$を,$5$のときは文字$\mathrm{C}$を,$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,さいころを$5$回投げ,その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
さいころを投げ,出た目が$1,\ 2,\ 3$のときは文字列$\mathrm{AA}$を書き,$4$のときは文字$\mathrm{B}$を,$5$のときは文字$\mathrm{C}$を,$6$のときは文字$\mathrm{D}$を書く.さらに繰り返しさいころを投げ,同じ規則に従って,$\mathrm{AA}$,$\mathrm{B}$,$\mathrm{C}$,$\mathrm{D}$をすでにある文字列の右側につなげて書いていく.
たとえば,さいころを$5$回投げ,その出た目が順に$2,\ 5,\ 6,\ 3,\ 4$であったとすると,得られる文字列は, \[ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{C} \ \mathrm{D} \ \mathrm{A} \ \mathrm{A} \ \mathrm{B} \] となる.このとき,左から$4$番目の文字は$\mathrm{D}$,$5$番目の文字は$\mathrm{A}$である.
(1) $n$を正の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n$番目の文字が$\mathrm{A}$となる確率を求めよ.
(2) $n$を$2$以上の整数とする.$n$回さいころを投げ,文字列を作るとき,文字列の左から$n-1$番目の文字が$\mathrm{A}$で,かつ$n$番目の文字が$\mathrm{B}$となる確率を求めよ.
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コメント(1件)
2015-08-18 16:49:23
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