$r$を$1$より大きい実数とする．半径$1$の円$C$の周上に点$\mathrm{Q}$をとる．最初に円$C$の中心$\mathrm{P}$は座標平面の$(0,\ 1)$，点$\mathrm{Q}$は$(0,\ 2)$にあるものとし，円$C$が$x$軸に接しながら$x$軸の正の方向にすべることなく転がっていく．角$\theta$ラジアンだけ回転したとき，半直線$\mathrm{PQ}$上に$\mathrm{PR}=r$となる点$\mathrm{R}$をとる．$\theta$を$0$から$2\pi$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡を考える．
(1) $\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha<\beta \leqq 2\pi$をみたし，$\theta=\alpha$のときの$\mathrm{R}$の座標と$\theta=\beta$のときの$\mathrm{R}$の座標とが一致するものとする．$\displaystyle t=\frac{\beta-\alpha}{2}$とおくとき，$r$を$t$を用いて表せ．
(2) (1)において，$\theta$を$\alpha$から$\beta$まで動かしたときの$\mathrm{R}$の軌跡によって囲まれた図形の面積を$S$とする．$S$を$t$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \lim_{r \to \infty} \frac{S}{r^2}$を求めよ．