九州大学
2016年 理系 第1問
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座標平面上の曲線$C_1,\ C_2$をそれぞれ
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2) $S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．
$C_1:y=\log x \quad (x>0)$
$C_2:y=(x-1)(x-a)$
とする．ただし，$a$は実数である．$n$を自然数とするとき，曲線$C_1$，$C_2$が$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わり，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標はそれぞれ$1,\ n+1$となっている．また，曲線$C_1$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$S_n$，曲線$C_2$と直線$\mathrm{PQ}$で囲まれた領域の面積を$T_n$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) $a$を$n$の式で表し，$a>1$を示せ．
(2) $S_n$と$T_n$をそれぞれ$n$の式で表せ．
(3) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{S_n}{n \log T_n}$を求めよ．
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