九州大学
2014年 文系 第3問
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鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$について，$\angle \mathrm{A}$，$\angle \mathrm{B}$，$\angle \mathrm{C}$の大きさを，それぞれ$A$，$B$，$C$とする．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，外心を$\mathrm{O}$とし，外接円の半径を$R$とする．
(1) $\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき， \[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \] を証明せよ．
(2) $\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき， \[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \] を証明せよ．
(1) $\mathrm{A}$と$\mathrm{O}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線を，それぞれ$\mathrm{AD}$，$\mathrm{OE}$とする．このとき， \[ \mathrm{AD}=2R \sin B \sin C,\quad \mathrm{OE}=R \cos A \] を証明せよ．
(2) $\mathrm{G}$と$\mathrm{O}$が一致するならば$\triangle \mathrm{ABC}$は正三角形であることを証明せよ．
(3) $\triangle \mathrm{ABC}$が正三角形でないとし，さらに$\mathrm{OG}$が$\mathrm{BC}$と平行であるとする．このとき， \[ \mathrm{AD}=3 \mathrm{OE},\quad \tan B \tan C=3 \] を証明せよ．
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