次のような競技を考える．競技者がサイコロを振る．もし，出た目が気に入ればその目を得点とする．そうでなければ，もう$1$回サイコロを振って，$2$つの目の合計を得点とすることができる．ただし，合計が$7$以上になった場合は得点は$0$点とする．この取決めによって，$2$回目を振ると得点が下がることもあることに注意しよう．次の問いに答えよ．
(1) 競技者が常にサイコロを$2$回振るとすると，得点の期待値はいくらか．
(2) 競技者が最初の目が$6$のときだけ$2$回目を振らないとすると，得点の期待値はいくらか．
(3) 得点の期待値を最大にするためには，競技者は最初の目がどの範囲にあるときに$2$回目を振るとよいか．