九州大学
2010年 理系 第3問

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xy平面上に曲線y=\frac{1}{x^2}を描き,この曲線の第1象限内の部分をC_1,第2象限内の部分をC_2と呼ぶ.C_1上の点P_1(a,\frac{1}{a^2})からC_2に向けて接線を引き,C_2との接点をQ_1とする.次に点Q_1からC_1に向けて接線を引き,C_1との接点をP_2とする.次に点P_2からC_2に向けて接線を引き,接点をQ_2とする.以下同様に続けて,C_1上の点列P_nとC_2上の点列Q_nを定める.このとき,次の問いに答えよ.(1)点Q_1の座標を求めよ.(2)三角形P_1Q_1P_2の面積S_1を求めよ.(3)三角形P_nQ_nP_{n+1}(n=1,2,3,・・・)の面積S_nを求めよ.(4)級数Σ_{n=1}^{∞}S_nの和を求めよ.
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$xy$平面上に曲線$\displaystyle y =\frac{1}{x^2}$を描き,この曲線の第1象限内の部分を$C_1$,第2象限内の部分を$C_2$と呼ぶ.$C_1$上の点P$_1 \displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a^2} \right)$から$C_2$に向けて接線を引き,$C_2$との接点をQ$_1$とする.次に点Q$_1$から$C_1$に向けて接線を引き,$C_1$との接点をP$_2$とする.次に点P$_2$から$C_2$に向けて接線を引き,接点をQ$_2$とする.以下同様に続けて,C$_1$上の点列P$_n$と$C_2$上の点列Q$_n$を定める.このとき,次の問いに答えよ.
(1) 点Q$_1$の座標を求めよ.
(2) 三角形P$_1$Q$_1$P$_2$の面積$S_1$を求めよ.
(3) 三角形P$_n$Q$_n$P$_{n+1} \ (n = 1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の面積$S_n$を求めよ.
(4) 級数$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} S_n$の和を求めよ.
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詳細情報

大学(出題年) 九州大学(2010)
文理 理系
大問 3
単元 極限(数学III)
タグ 平面曲線分数x^2象限部分接線接点座標三角形
難易度 未設定

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