九州大学
2011年 文系 第3問
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平面上に直角三角形$\mathrm{ABC}$があり，その斜辺$\mathrm{BC}$の長さを$2$とする．また，点$\mathrm{O}$は$4 \overrightarrow{\mathrm{OA}}-\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$をみたしているとする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3) $4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．
(1) 辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{M}$とするとき，点$\mathrm{A}$は線分$\mathrm{OM}$の中点となることを示せ．
(2) $|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 + |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|^2=10$となることを示せ．
(3) $4|\overrightarrow{\mathrm{PA}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PB}}|^2-|\overrightarrow{\mathrm{PC}}|^2=-4$をみたす点を$\mathrm{P}$とするとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|$の値を求めよ．
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