次の$\fbox{}$にあてはまる数または式を記入せよ．
漸化式$a_{n+2}=da_{n+1}-a_n$と条件$a_1=0$，$a_2=1$で定まる数列$\{a_n\}$の一般項を，$2$次方程式と三角関数を用いて求める．ここで，$d$は実数とする．
(1) 実数$\beta$をとり，$a_n=\beta^{n-1}$とおくとき，$\{a_n\}$が漸化式を満たすのは，$\beta$が$2$次方程式$\fbox{ア}=0$の解となるときである．
(2) $(1)$の$2$次方程式が相異なる$2$つの実数解を持つ条件は$d>\fbox{イ}$または$d<\fbox{ウ}$である．このとき，相異なる$2$つの実数解を$\beta_1,\ \beta_2$と表し，$a_n=p {\beta_1}^{n-1}+q {\beta_2}^{n-1}$（$p,\ q:$任意の実数）とおけば，$\{a_n\}$は漸化式を満たす．よって，$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば，数列の一般項は$d$と$n$を用いて$a_n=\fbox{エ}$と表される．
(3) $(1)$の$2$次方程式が$2$つの虚数解を持つ条件は$\fbox{オ}<d<\fbox{カ}$である．三角関数の加法定理より \[ \left\{ \begin{array}{l} \cos (n+1) \theta+\cos (n-1) \theta=2 \fbox{キ} \cos \theta \\ \sin (n+1) \theta+\sin (n-1) \theta=2 \fbox{ク} \cos \theta \end{array} \right. \] が成り立つので，$a_n=p \cos (n-1) \theta+q \sin (n-1) \theta$（$p,\ q:$任意の実数）とおき，$d=\fbox{ケ}$となるように$\theta$を選べば，$\{a_n\}$は漸化式を満たす．よって，$a_1,\ a_2$の条件を満たすように$p,\ q$を定めれば，数列の一般項は$\theta$と$n$を用いて$a_n=\fbox{コ}$のように表される．