岩手大学
2012年 人文社会科学 第1問
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座標平面上に$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$,$\mathrm{P}_1(\sqrt{3},\ 1)$,$\mathrm{P}_2(\sqrt{3},\ 0)$をとる.点$\mathrm{P}_2$から線分$\mathrm{OP}_1$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_1$との交点を$\mathrm{P}_3$とする.次に,点$\mathrm{P}_3$から線分$\mathrm{OP}_2$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_2$との交点を$\mathrm{P}_4$とする.この操作を繰り返すことにより,点$\mathrm{P}_n$を定める.すなわち,点$\mathrm{P}_{n-1}$から$\mathrm{OP}_{n-2}$に引いた垂線と線分$\mathrm{OP}_{n-2}$との交点を$\mathrm{P}_n$とする.このとき,以下の問いに答えよ.
(1) 三つの線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さをそれぞれ求めよ.
(2) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ.
(3) 三つの三角形$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{OP}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{OP}_3 \mathrm{P}_4$の面積をそれぞれ求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ.
(5) 三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき, \[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \] と定義する.$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ.
(1) 三つの線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の長さをそれぞれ求めよ.
(2) 線分$\mathrm{P}_n \mathrm{P}_{n+1}$の長さを$n$を用いて表せ.
(3) 三つの三角形$\mathrm{OP}_1 \mathrm{P}_2$,$\mathrm{OP}_2 \mathrm{P}_3$,$\mathrm{OP}_3 \mathrm{P}_4$の面積をそれぞれ求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$n$を用いて表せ.
(5) 三角形$\mathrm{OP}_n \mathrm{P}_{n+1}$の面積を$a_n$とおき, \[ S_n=a_1+a_2+\cdots +a_n \] と定義する.$S_n$は$2\sqrt{3}$以上にならないことを証明せよ.
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