島根大学
2014年 総合理工(数理・情報システム) 第3問
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$a_1=2$とし,$f(x)=x^2-3$とする.曲線$y=f(x)$上の点$(a_1,\ f(a_1))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_2$とする.以下同様に,$n=3,\ 4,\ \cdots$に対して,曲線$y=f(x)$上の点$(a_{n-1},\ f(a_{n-1}))$における接線が$x$軸と交わる点の$x$座標を$a_n$とする.数列$\{a_n\}$に対して,次の問いに答えよ.
(1) $a_2$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ.
(4) $\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ.
(1) $a_2$を求めよ.
(2) $a_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.
(3) $a_n \geqq \sqrt{3}$を示せ.
(4) $\displaystyle a_n-\sqrt{3} \leqq {\left( \frac{1}{2} \right)}^{n-1} (2-\sqrt{3})$を示し,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$を求めよ.
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