島根大学
2013年 総合理工(数理・情報システム以外) 第3問
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$A$を$2$次正方行列とする.座標平面上の点$\mathrm{P}_1(1,\ 0)$が,$A$の表す移動により$\displaystyle \left( \frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に,$A^2$の表す移動により$\displaystyle \left( -\frac{1}{2},\ \frac{\sqrt{3}}{2} \right)$に移るとする.このとき,次の問いに答えよ.
(1) $A$を求めよ.
(2) $\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする.$B$の表す移動によって,点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め,点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める.以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める.このとき,点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) (2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で,$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく.このとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
(1) $A$を求めよ.
(2) $\displaystyle B=\frac{1}{2}A^3$とする.$B$の表す移動によって,点$\mathrm{P}_1$が移る点を$\mathrm{P}_2$と定め,点$\mathrm{P}_2$が移る点を$\mathrm{P}_3$と定める.以下同様にして$B$の表す移動によって点$\mathrm{P}_{n-1}$が移る点を$\mathrm{P}_n$と定める.このとき,点$\mathrm{P}_n$の座標を求めよ.
(3) (2)で定めた点$\mathrm{P}_n$から曲線$y=x^2$に引いた接線で,$x$軸に平行でないものの傾きを$a_n$とおく.このとき,$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n$を求めよ.
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