長崎大学
2016年 教育・薬学部 第3問
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以下の問いに答えよ.
(1) 関数 \[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \] の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2) 定積分 \[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \] について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3) 関数 \[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \] がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1) 関数 \[ y=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} \] の増減を調べ,$y$のとり得る値の範囲を求めよ.また,この関数の逆関数を求めよ.
(2) 定積分 \[ I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \] について,$I_1,\ I_2,\ I_3$を求めよ.
(3) 関数 \[ f(x)=\frac{1+\log x}{x} \quad (x>0) \] がある.曲線$C:y=f(x)$の変曲点を$\mathrm{P}(a,\ f(a))$とする.曲線$C$と直線$x=a$,および$x$軸で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
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