福島県立医科大学
2012年 医学部 第2問
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以下の各問いに答えよ.
(1) $e$は自然対数の底とし,$a$は正の実数とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ,極値を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ.
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ.
(2) $0<t<\pi$とする.曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$,点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $j=1,\ 2$について,直線$\ell_j$,$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする.また,曲線$C$,$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする.$V_1$,$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ.
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい.
(1) $e$は自然対数の底とし,$a$は正の実数とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) $x>0$で定義された関数$f(x)=a \log x-x$の増減を調べ,極値を求めよ.
(ⅱ) $\displaystyle \lim_{x \to \infty} x^a e^{-2x}=0$を示せ.
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} \int_0^x t^2e^{-2t} \, dt$を求めよ.
(2) $0<t<\pi$とする.曲線$\displaystyle C:y=\sin \frac{x}{2} \ \ (0 \leqq x \leqq \pi)$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \sin \frac{t}{2} \right)$における$C$の接線を$\ell_1$,点$\mathrm{P}$と原点を通る直線を$\ell_2$とする.以下の問いに答えよ.
(ⅰ) 接線$\ell_1$と$x$軸との交点の$x$座標を$t$を用いて表せ.
(ⅱ) $j=1,\ 2$について,直線$\ell_j$,$x$軸および直線$x=t$で囲まれた三角形を$x$軸のまわりに回転させてできた円錐の体積を$V_j$とする.また,曲線$C$,$x$軸および直線$x=t$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに回転させてできた回転体の体積を$V$とする.$V_1$,$V_2$および$V$を$t$を用いて表せ.
(ⅲ) 極限値$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\theta-\sin \theta}{\theta^3}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta}=1$は利用してよい.
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