京都工芸繊維大学
2012年 工芸科学 第4問
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$p$を自然数とし，$r$を1より大きい実数とする．数列$a_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$は次の条件$\tokeiichi,\ \tokeini,\ \tokeisan$をすべて満たしている．
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $a_2=p$
$\tokeisan$ \ \ $a_3 \leqq 13$
このとき，次の問いに答えよ．
(1) すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2) $p$および$r$の値を求めよ．
(3) $m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．
$\tokeiichi$ \ \ $\displaystyle a_n=r^{n-1}+\frac{1}{r^{n-1}} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$\tokeini$ \ \ $a_2=p$
$\tokeisan$ \ \ $a_3 \leqq 13$
このとき，次の問いに答えよ．
(1) すべての自然数$n$について，$a_{n+2}=pa_{n+1}-a_n$が成り立つことを証明せよ．
(2) $p$および$r$の値を求めよ．
(3) $m$を自然数とする．$2m$個の数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_{2m}$のうち，3の倍数であるものすべての和を求めよ．
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