$xyz$空間内に四面体$\mathrm{PABC}$がある．$\triangle \mathrm{ABC}$は$xy$平面内にある鋭角三角形とし，頂点$\mathrm{P}$の$z$座標は正とする．$\mathrm{P}$から$xy$平面に下ろした垂線を$\mathrm{PH}$とし，$\mathrm{H}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の内部にあるとする．$\mathrm{H}$から直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$に下ろした垂線をそれぞれ$\mathrm{HK}_1$，$\mathrm{HK}_2$，$\mathrm{HK}_3$とする．そのとき$\mathrm{PK}_1 \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{PK}_2 \perp \mathrm{BC}$，$\mathrm{PK}_3 \perp \mathrm{CA}$である．$\angle \mathrm{PK}_1 \mathrm{H}=\alpha_1$，$\angle \mathrm{PK}_2 \mathrm{H}=\alpha_2$，$\angle \mathrm{PK}_3 \mathrm{H}=\alpha_3$とし，$\triangle \mathrm{PAB}$，$\triangle \mathrm{PBC}$，$\triangle \mathrm{PCA}$の面積をそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$とする．
(1) $\triangle \mathrm{HAB}$の面積を$\alpha_1,\ S_1$を用いて表せ．
(2) 3つのベクトル$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$は，大きさがそれぞれ$S_1,\ S_2,\ S_3$であり，向きがそれぞれ平面$\mathrm{PAB}$，平面$\mathrm{PBC}$，平面$\mathrm{PCA}$に垂直であるとする．ただし，$\overrightarrow{l_1}$，$\overrightarrow{l_2}$，$\overrightarrow{l_3}$の$z$成分はすべて正とする．このとき，$\overrightarrow{l_1}+\overrightarrow{l_2}+\overrightarrow{l_3}$の$z$成分は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積に等しいことを示せ．
(3) 3辺$\mathrm{AB},\ \mathrm{BC},\ \mathrm{CA}$の長さの比$\mathrm{AB}:\mathrm{BC}:\mathrm{CA}$を，$\alpha_1,\ \alpha_2,\ \alpha_3,\ S_1,\ S_2,\ S_3$を用いて表せ．