$e$を自然対数の底とする．$xy$平面上で，曲線$y=e^{2x}$の，点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし，点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする．$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする．
(1) $\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2) $\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3) $a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．