宇都宮大学
2013年 理系 第3問
3
![△ABCにおいて,内部の点をPとし,直線APと辺BCの交点をDとする.ベクトルPB+2ベクトルPC=ベクトルAPであるとき,次の問いに答えよ.(1)ベクトルAPをベクトルABとベクトルACを用いて表せ.(2)比AP:PDとBD:DCを求めよ.(3)直線APが△PBCの外接円の中心を通るとする.その外接円の半径を1とし,∠BPC=120°とするとき,辺BCの長さを求めよ.(4)(3)と同じ条件のもとで,ベクトルPBとベクトルPCの内積を求めよ.](./thumb/95/2200/2013_3.png)
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$\triangle \mathrm{ABC}$において,内部の点を$\mathrm{P}$とし,直線$\mathrm{AP}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする.$\overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{AP}}$であるとき,次の問いに答えよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(2) 比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする.その外接円の半径を$1$とし,$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき,辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(4) (3)と同じ条件のもとで,$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$を用いて表せ.
(2) 比$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}$と$\mathrm{BD}:\mathrm{DC}$を求めよ.
(3) 直線$\mathrm{AP}$が$\triangle \mathrm{PBC}$の外接円の中心を通るとする.その外接円の半径を$1$とし,$\angle \mathrm{BPC}=120^\circ$とするとき,辺$\mathrm{BC}$の長さを求めよ.
(4) (3)と同じ条件のもとで,$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$の内積を求めよ.
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