天使大学
2015年 全学部 第2問
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$\mathrm{BC}=1$,$\angle \mathrm{B}={60}^\circ$,$\angle \mathrm{C}={90}^\circ$をみたす$\triangle \mathrm{ABC}$の辺$\mathrm{BC}$,辺$\mathrm{CA}$,辺$\mathrm{AB}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}$,点$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{R}$をとる.ただし,点$\mathrm{P}$,点$\mathrm{Q}$,点$\mathrm{R}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の頂点とは異なる点で,$\triangle \mathrm{PQR}$は正三角形である.次の問いに答えなさい.
(1) $\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく.このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし,$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である.
(2) $\mathrm{BP}=x$とおく.このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である.
(3) $\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく.このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である.
(4) $\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき,$x$の値を求めなさい.
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である.
(1) $\angle \mathrm{CPQ}=\theta$とおく.このとき$\angle \mathrm{BPR}=\mkakko{$\mathrm{a}$} \mkakko{$\mathrm{b}$} \mkakko{$\mathrm{c}$}^\circ-\theta$をみたし,$\angle \mathrm{BRP}=\mkakko{$\mathrm{d}$} \theta$である.
(2) $\mathrm{BP}=x$とおく.このとき$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{e}$}}}{\mkakko{$\mathrm{f}$}} x$である.
(3) $\triangle \mathrm{PQR}$の面積を$S$とおく.このとき$\displaystyle S=\frac{\sqrt{\mkakko{$\mathrm{g}$}}}{\mkakko{$\mathrm{h}$}} \left( \frac{\mkakko{$\mathrm{i}$}}{\mkakko{$\mathrm{j}$}} x^2+\mkakko{$\mathrm{k}$}x+1 \right)$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{j}$}$は正の数である.
(4) $\displaystyle S=\frac{7}{64} \sqrt{3}$のとき,$x$の値を求めなさい.
$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{l}$}}{\mkakko{$\mathrm{m}$}}$または$\displaystyle x=\frac{\mkakko{$\mathrm{n}$}}{\mkakko{$\mathrm{o}$} \mkakko{$\mathrm{p}$}}$である.ただし$\mkakko{$\mathrm{m}$}$と$\mkakko{$\mathrm{o}$}$は正の数である.
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