島根大学
2016年 総合理工(数理・情報システム) 第4問
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$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする.$xy$平面上の曲線$\displaystyle \frac{x^2}{\cos^2 \alpha}+\frac{y^2}{\sin^2 \alpha}=\frac{1}{\cos^2 \alpha}$の$x \geqq 0$,$y \geqq 0$の部分を$C(\alpha)$とし,曲線$C(\alpha)$と$y$軸,および直線$y=x$で囲まれた図形を$D(\alpha)$で表す.次の問いに答えよ.
(1) 曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ.
(2) 図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ.
(3) 図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ.
(4) $(2)$,$(3)$で求めた$S(\alpha)$,$V(\alpha)$に対して,$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ.
(1) 曲線$C(\alpha)$と直線$y=x$の交点の座標を求めよ.
(2) 図形$D(\alpha)$の面積$S(\alpha)$を求めよ.
(3) 図形$D(\alpha)$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V(\alpha)$を求めよ.
(4) $(2)$,$(3)$で求めた$S(\alpha)$,$V(\alpha)$に対して,$\displaystyle \lim_{\alpha \to +0} \frac{\{V(\alpha)\}^2}{\{S(\alpha)\}^3}$を求めよ.
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