法政大学
2012年 未設定 第2問
2
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$n$を$2$以上の整数とする.
(1) 平面上の平行な$2$直線上に,相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある.これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ.
(ⅰ) $n=5$のとき,この選び方は全部で$\fbox{アイウ}$通りあり,選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$\fbox{エオ}$通りある.
(ⅱ) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( \fbox{カ}-\fbox{キ} \right)$通りある.
ただし,$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$については,以下の$\maruichi$~$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ.ここで,同じものを何回選んでもよい. \[ \begin{array}{lllllllll} \maruichi \ \ n & & \maruni \ \ 2n & & \marusan \ \ 3n & & \marushi \ \ n^2 & & \marugo \ \ 2n^2 \\ \maruroku \ \ 3n^2 & & \marushichi \ \ n^3 & & \maruhachi \ \ 2n^3 & & \marukyu \ \ 3n^3 & & \end{array} \]
(2) $\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある.これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ.
(ⅰ) $n=3$のとき,選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\fbox{クケ}$通りある.
(ⅱ) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( \fbox{コ} n^{\fbox{サ}}-\fbox{シ} \right)}{\fbox{ス}}$通りある.
(ⅲ) $n=12$のとき,選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$\fbox{セソ}$通りある.
(1) 平面上の平行な$2$直線上に,相異なる点がそれぞれ$n$個ずつある.これらの$2n$個の点から$3$点を選ぶ.
(ⅰ) $n=5$のとき,この選び方は全部で$\fbox{アイウ}$通りあり,選んだ$3$点が$1$直線上にあるような選び方は$\fbox{エオ}$通りある.
(ⅱ) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \left( \fbox{カ}-\fbox{キ} \right)$通りある.
ただし,$\fbox{カ}$,$\fbox{キ}$については,以下の$\maruichi$~$\marukyu$からそれぞれ$1$つを選べ.ここで,同じものを何回選んでもよい. \[ \begin{array}{lllllllll} \maruichi \ \ n & & \maruni \ \ 2n & & \marusan \ \ 3n & & \marushi \ \ n^2 & & \marugo \ \ 2n^2 \\ \maruroku \ \ 3n^2 & & \marushichi \ \ n^3 & & \maruhachi \ \ 2n^3 & & \marukyu \ \ 3n^3 & & \end{array} \]
(2) $\mathrm{O}$を中心とする円の円周を等分する$2n$個の点がある.これらの$2n$個の点と点$\mathrm{O}$から$3$点を選ぶ.
(ⅰ) $n=3$のとき,選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\fbox{クケ}$通りある.
(ⅱ) 選んだ$3$点が三角形をつくるような選び方は$\displaystyle \frac{n \left( \fbox{コ} n^{\fbox{サ}}-\fbox{シ} \right)}{\fbox{ス}}$通りある.
(ⅲ) $n=12$のとき,選んだ$3$点が正三角形をつくるような選び方は$\fbox{セソ}$通りある.
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