福井大学
2016年 医学部 第2問
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原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上に,$\mathrm{F}(5,\ 0)$を焦点の$1$つとし,直線$\ell:y=kx$と$\ell^\prime:y=-kx$とを漸近線にもつ双曲線$C$がある.ただし,$k>0$とする.$C$上の点$\mathrm{Q}(a,\ b)$を通り,$2$本の漸近線に平行な$2$直線のうち,傾きが正のものを$m$,傾きが負のものを$m^\prime$とする.$\ell$と$m^\prime$との交点を$\mathrm{P}$,$\ell^\prime$と$m$との交点を$\mathrm{R}$とし,四角形$\mathrm{OPQR}$の面積を$S$とおくとき,以下の問いに答えよ.
(1) 双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3) $S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4) $k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
(1) 双曲線$C$の方程式を$k$を用いて表せ.
(2) 点$\mathrm{P}$,$\mathrm{R}$の座標を,$a,\ b,\ k$を用いて表せ.
(3) $S$は点$\mathrm{Q}$のとり方によらないことを証明せよ.
(4) $k$が$k>0$の範囲を動くとき,$S$の最大値とそのときの$k$の値を求めよ.
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