電気通信大学
2015年 理系 第2問
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関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する.ただし,$e$は自然対数の底とする.
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が,媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき,以下の問いに答えよ.
(1) $f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする.$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.さらに,$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき,$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ.
(2) 導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ.さらに,区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において,関数$f(t)$,$g(t)$がともに単調に増加することを示せ.
(3) 次の定積分をそれぞれ求めよ. \[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4) 曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
(1) $f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta \ \ (\alpha<\beta)$とする.$\alpha,\ \beta$の値を求めよ.さらに,$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき,$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ.
(2) 導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ.さらに,区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において,関数$f(t)$,$g(t)$がともに単調に増加することを示せ.
(3) 次の定積分をそれぞれ求めよ. \[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4) 曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ.
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