京都工芸繊維大学
2013年 工芸科学 第3問
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$a$を正の定数とし,$m$を自然数とする.$xy$平面上の$2$曲線$C_1:y=ax^2 \ (x \geqq 0)$,$C_2:y=(\log x)^{m} \ (x \geqq 1)$および点$\mathrm{P}$は次の条件を満たしている.
$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り,$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する.
(1) $a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ.
(2) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め,$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ.
(3) 自然数$n$に対して,不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく.$n \geqq 2$のとき,部分積分法により,$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $m=2$のとき,$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
$C_1$と$C_2$は$\mathrm{P}$を通り,$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と$\mathrm{P}$における$C_2$の接線は一致する.
(1) $a$の値および$\mathrm{P}$の$x$座標を$m$を用いて表せ.
(2) 関数$\displaystyle f(x)=\frac{(\log x)^m}{x^2} \ (x \geqq 1)$の最大値を求め,$x \geqq 1$において不等式$ax^2 \geqq (\log x)^m$が成り立つことを示せ.
(3) 自然数$n$に対して,不定積分$\displaystyle \int (\log x)^n \, dx$を$I_n$とおく.$n \geqq 2$のとき,部分積分法により,$I_n$を$I_{n-1}$を用いて表せ.
(4) $m=2$のとき,$C_1,\ C_2$および$x$軸で囲まれた部分の面積を求めよ.
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