旭川医科大学
2016年 医学部 第1問
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$\displaystyle I_n=\int_0^{\frac{\pi}{4}} \tan^n x \, dx \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とおく．このとき，次の問いに答えよ．
(1) $\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
(3) $I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．
(4) $(3)$までの結果を用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ．
(1) $\displaystyle \tan x \leqq x+1-\frac{\pi}{4} \ \ \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{4} \right)$が成り立つことを示せ．
(2) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} I_n$を求めよ．
(3) $I_n+I_{n+2}$の値を$n$を用いて表せ．
(4) $(3)$までの結果を用いて，無限級数$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{{(-1)}^{n+1}}{2n}$の和を求めよ．
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