下の図において，点$\mathrm{O}$は$\triangle \mathrm{ABC}$の外心である．点$\mathrm{D}$は$2$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{O}$を通る円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{BC}$との交点，点$\mathrm{E}$は円$\mathrm{O}_1$と辺$\mathrm{AB}$との交点である．また，点$\mathrm{F}$は$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{C}$を通る円$\mathrm{O}_2$と，辺$\mathrm{AC}$の延長との交点である．次の問に答えよ． \imgc{486_2928_2014_1}
(1) $4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$は同一円周上にあることを証明せよ．
(2) 円$\mathrm{O}_1$の半径を$R_1$，円$\mathrm{O}_2$の半径を$R_2$，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{O}$，$\mathrm{F}$を通る円の半径を$R_3$とおく．$R_1=R_2=R_3$を証明せよ．