京都府立大学
2010年 生命環境（生命分子化学） 第1問
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以下の問いに答えよ．
(1) $\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2) $\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3) 座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq 3x^2-12x-3 \\ y \leqq 0 \end{array} \right. \] の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．
(ⅰ) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ⅱ) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．
(1) $\sqrt{5}$が無理数であることを証明せよ．
(2) $\alpha$を$2$次方程式$x^2-4x-1=0$の解とするとき，$(\alpha-a)(\alpha-b)=1+c$を満たす自然数の組$(a,\ b,\ c)$をすべて求めよ．
(3) 座標平面上の点$(s,\ t)$で$s$と$t$のどちらも整数となるものを格子点と呼ぶ．連立不等式 \[ \left\{ \begin{array}{l} y \geqq 3x^2-12x-3 \\ y \leqq 0 \end{array} \right. \] の表す領域を$D$とする．$k^2-4k-1<0$を満たす整数$k$に対して，直線$\ell:x=k$上にあり，かつ，$D$に含まれる格子点の個数を$N_k$とする．
(ⅰ) $N_k$を$k$を用いて多項式で表せ．
(ⅱ) $D$に含まれる格子点の総数を求めよ．
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