$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を
$a_1=1,\quad b_1=0,\quad a_2=0,\quad b_2=1$
$a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
$b_{n+2}=2b_{n+1}+b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2+x}$に対し，関数$g_n(x) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を
$g_1(x)=f(x)$
$g_{n+1}(x)=g_n(f(x)) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
で定める．以下の問いに答えよ．
(1) $a_{n+2}=b_{n+1} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(2) $\displaystyle g_n(0)=\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}} \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$となることを示せ．
(3) 数列$\{c_n\}$を$c_n=g_n(0) \ \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定めるとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} c_n$を求めよ．