京都府立大学
2015年 生命環境（環境・情報） 第3問
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$0<t<1$とする．$1$辺の長さが$1$である正五角形$\mathrm{ABCDE}$において，線分$\mathrm{AD}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{P}$，線分$\mathrm{BE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AC}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{ED}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{AD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BC}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{BD}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{AE}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{BE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{CD}},\ \ \overrightarrow{\mathrm{CE}} \para \, \overrightarrow{\mathrm{BA}},\ \ \sin \frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt{5}}{4} \]
を証明なしで用いてよい．
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．
(1) $\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$であることを示せ．
(2) $\overrightarrow{\mathrm{AP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$，$t$を用いて表せ．
(3) $\displaystyle \angle \mathrm{APQ}=\frac{\pi}{2}$となる$t$の値を求めよ．
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