京都府立大学
2012年 生命環境（環境・情報） 第4問
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$n$を自然数とする．整数を成分にもつ行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
3 & x \\
y & z
\end{array} \right),\quad E=\left( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \right) \]
は$AB=BA$，$B^2-3B+2E=O$を満たすとする．ただし$x \neq y$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $a>b>c>d$，$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ．
(2) $B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(3) $a=3$，$b=2$，$c=-4$，$d=-3$のとき，$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ．
(1) $a>b>c>d$，$bc>0$かつ$A^2=18E$のとき，$a,\ b,\ c,\ d$の値をすべて求めよ．
(2) $B^n=p_nB+q_nE$で定まる数列$\{p_n\}$，$\{q_n\}$の一般項をそれぞれ求めよ．
(3) $a=3$，$b=2$，$c=-4$，$d=-3$のとき，$x,\ y,\ z$の値および$(AB)^{2n}$を求めよ．
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