京都府立大学
2011年 生命環境（環境・情報） 第2問
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$2$つの数列$\{a_n\}$，$\{b_n\}$を漸化式
$a_1=3,\quad 2a_{n+1}=a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots)$
$b_1=1,\quad b_2=1,\quad 2b_{n+2}=-b_{n+1}+b_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots)$
によって定める．以下の問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) 漸化式$c_n=b_{n+1}+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k}-1)b_{2k}$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
$a_1=3,\quad 2a_{n+1}=a_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots)$
$b_1=1,\quad b_2=1,\quad 2b_{n+2}=-b_{n+1}+b_n+1 \quad (n=1,\ 2,\ \cdots)$
によって定める．以下の問いに答えよ．
(1) 数列$\{a_n\}$の一般項を求めよ．
(2) 漸化式$c_n=b_{n+1}+b_n \ \ (n=1,\ 2,\ \cdots)$によって定められる数列$\{c_n\}$の一般項を求めよ．
(3) 数列$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4) $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n (a_{2k}-1)b_{2k}$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n$を求めよ．
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