$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$と，点$(4,\ 3)$を中心とする半径$1$の円$D$がある．円$C$上に異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，円$D$上に点$\mathrm{P}$がある．$2$つの直線$\mathrm{AP}$，$\mathrm{BP}$は円$C$の接線とする．直線$\mathrm{AB}$と直線$\mathrm{OP}$の交点を$\mathrm{Q}$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1) 点$\mathrm{P}$の座標を$(5,\ 3)$とするとき，直線$\mathrm{AB}$の方程式を求めよ．
(2) $(1)$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3) 点$\mathrm{P}$が円$D$の円周上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡が点$\displaystyle \left( \frac{1}{6},\ \frac{1}{8} \right)$を中心とする半径$\displaystyle \frac{1}{24}$の円となることを示せ．