京都府立大学
2013年 生命環境（環境・情報） 第4問
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$a,\ b,\ c$は$0$でない実数とする．行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
b & c
\end{array} \right)$について，以下の問いに答えよ．
(1) $BAB$は対角行列，かつ，$B^2$は単位行列とするとき，$B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ q & r \end{array} \right)$の成分はすべて実数であることを示せ．
(2) $\displaystyle a=\frac{5}{8},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{3}$とする．自然数$n$に対して$\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$を示せ．
(1) $BAB$は対角行列，かつ，$B^2$は単位行列とするとき，$B=\left( \begin{array}{cc} p & q \\ q & r \end{array} \right)$の成分はすべて実数であることを示せ．
(2) $\displaystyle a=\frac{5}{8},\ b=-\frac{1}{2},\ c=\frac{1}{3}$とする．自然数$n$に対して$\left( \begin{array}{c} x_n \\ y_n \end{array} \right)=A^n \left( \begin{array}{c} 3 \\ 4 \end{array} \right)$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}x_n=0$かつ$\displaystyle \lim_{n \to \infty}y_n=0$を示せ．
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