京都府立大学
2013年 生命環境（環境・情報） 第3問
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$0 \leqq a<1$とする．$xy$平面上の曲線$C$を$y=1+x \sqrt{1-x^2}$で，直線$\ell$を$y=1+ax$で定める．$C$と$\ell$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$a$の関数と考えて$V(a)$とする．以下の問いに答えよ．
(1) $-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2) $V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3) $\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．
(1) $-1 \leqq x \leqq 1$とするとき，不等式$2x \sqrt{1-x^2} \geqq x$を解け．
(2) $V(a)$を$a$を用いて多項式で表せ．
(3) $\displaystyle M_n=\frac{1}{2n} \sum_{k=1}^n V \left( \frac{k}{2n} \right)$とするとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}M_n$を求めよ．
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