東京大学
2012年 理系 第5問
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行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \biggr)$が次の条件(D)を満たすとする.
[(D)] $A$の成分$a$,$b$,$c$,$d$は整数である.また,平面上の4点$(0,\ 0)$,$(a,\ b)$,$(a+c,\ b+d)$,$(c,\ d)$は,面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす.
$B=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ.
(2) $c=0$ならば,$A$に$B$,$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより,4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ.
(3) $|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする.$BA$,$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は,それを$\biggl( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \biggr)$とすると \[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \] を満たすことを示せ.
[(D)] $A$の成分$a$,$b$,$c$,$d$は整数である.また,平面上の4点$(0,\ 0)$,$(a,\ b)$,$(a+c,\ b+d)$,$(c,\ d)$は,面積1の平行四辺形の4つの頂点をなす.
$B=\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr)$とおく.次の問いに答えよ.
(1) 行列$BA$と$B^{-1}A$も条件(D)を満たすことを示せ.
(2) $c=0$ならば,$A$に$B$,$B^{-1}$のどちらかを左から次々にかけることにより,4個の行列$\biggl( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{rr} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{array} \biggr)$のどれかにできることを示せ.
(3) $|\,a\,| \geqq |\,c\,| >0$とする.$BA$,$B^{-1}A$に少なくともどちらか一方は,それを$\biggl( \begin{array}{cc} x & y \\ z & w \end{array} \biggr)$とすると \[ |\,x\,|+|\,z\,| < |\,a\,|+|\,c\,| \] を満たすことを示せ.
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