南山大学
2011年 理工学部 第1問
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$\fbox{}$の中に答を入れよ.
(1) $a,\ b$を実数($a \neq b$)とする.$2$つの$2$次関数 \[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \] の最小値が同じであるとき,$a$を用いて$b$を表すと$b=\fbox{ア}$である.このとき,$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$\fbox{イ}$である.
(2) $2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=\fbox{ウ}$である.$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$,$(2,\ 3)$の像が,それぞれ,$(-3,\ 5)$,$(-8,\ 12)$であるとき,行列$C$を求めると$C=\fbox{エ}$である.
(3) $\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$,$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし,$a=\cos \alpha$,$b=\cos \beta$とする.$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=\fbox{オ}$であり,$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=\fbox{カ}$である.
(4) $k$を正の実数とする.直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとき,$k$の値の範囲は$\fbox{キ}$である.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは,$k=\fbox{ク}$のときである.
(5) $5$人でじゃんけんを$1$回するとき,$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=\fbox{ケ}$である.また,$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき,$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=\fbox{コ}$である.
(1) $a,\ b$を実数($a \neq b$)とする.$2$つの$2$次関数 \[ y=x^2+ax+b,\quad y=x^2+bx+a \] の最小値が同じであるとき,$a$を用いて$b$を表すと$b=\fbox{ア}$である.このとき,$2$つの$2$次関数のグラフの交点の座標は$\fbox{イ}$である.
(2) $2$つの行列$A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{array} \right)$,$B=\left( \begin{array}{cc} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{array} \right)$の積$AB$を求めると$AB=\fbox{ウ}$である.$2$行$2$列の行列$C$で表される$1$次変換による$2$点$(1,\ 1)$,$(2,\ 3)$の像が,それぞれ,$(-3,\ 5)$,$(-8,\ 12)$であるとき,行列$C$を求めると$C=\fbox{エ}$である.
(3) $\alpha,\ \beta$は$0 \leqq \alpha < 2\pi$,$0 \leqq \beta < 2\pi$を満たす実数とし,$a=\cos \alpha$,$b=\cos \beta$とする.$A=\sin (\alpha+\beta) \sin (\alpha-\beta)$を$a$と$b$で表すと$A=\fbox{オ}$であり,$A$の値が$1$となるときの$\beta$の値は$\beta=\fbox{カ}$である.
(4) $k$を正の実数とする.直線$y=kx$と円$x^2+(y-3)^2=4$が異なる$2$点$\mathrm{P}$,$\mathrm{Q}$で交わるとき,$k$の値の範囲は$\fbox{キ}$である.また,線分$\mathrm{PQ}$の長さが$2$となるのは,$k=\fbox{ク}$のときである.
(5) $5$人でじゃんけんを$1$回するとき,$1$人だけが勝つ確率$p$は$p=\fbox{ケ}$である.また,$5$人のじゃんけんを$1$人だけが勝つまで繰り返すとき,$n$回以内に$1$人だけが勝って終わる確率$q$を$n$を用いて表すと$q=\fbox{コ}$である.
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