会津大学
2015年 コンピュータ理工 第3問
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座標空間の$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$,$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 1)$,$\mathrm{B}(-1,\ 2,\ 0)$,$\mathrm{C}(-1,\ 1,\ -1)$を頂点とする四面体がある.辺$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{P}$,辺$\mathrm{AC}$上の点$\mathrm{Q}$が,
\[ \mathrm{AP}:\mathrm{PB}=\mathrm{CQ}:\mathrm{QA}=t:(1-t),\quad 0 \leqq t \leqq 1 \]
をみたすとき,以下の空欄をうめよ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{イ} \] である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は,$t=\fbox{ロ}$のとき,最大値$\fbox{ハ}$をとる.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき,$t=\fbox{ニ}$である.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$t$を用いて表すと \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\fbox{イ} \] である.
(2) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は,$t=\fbox{ロ}$のとき,最大値$\fbox{ハ}$をとる.
(3) $\overrightarrow{\mathrm{OP}} \perp \overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のとき,$t=\fbox{ニ}$である.
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