岡山大学
2015年 理系 第3問
3
![自然数n=1,2,3,・・・に対して,関数f_n(x)=x^{n+1}(1-x)を考える.(1)曲線y=f_n(x)上の点(a_n,f_n(a_n))における接線が原点を通るとき,a_nをnの式で表せ.ただし,a_n>0とする.(2)0≦x≦1の範囲で,曲線y=f_n(x)とx軸とで囲まれた図形の面積をB_nとする.また,(1)で求めたa_nに対して,0≦x≦a_nの範囲で,曲線y=f_n(x),x軸,および直線x=a_nで囲まれた図形の面積をC_nとする.B_nおよびC_nをnの式で表せ.(3)(2)で求めたB_nおよびC_nに対して,極限値\lim_{n→∞}\frac{C_n}{B_n}を求めよ.ただし,\lim_{n→∞}(1+1/n)^nが自然対数の底eであることを用いてよい.](./thumb/612/1191/2015_3.png)
3
自然数$n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots$に対して,関数$f_n(x)=x^{n+1}(1-x)$を考える.
(1) 曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき,$a_n$を$n$の式で表せ.ただし,$a_n>0$とする.
(2) $0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする.また,$(1)$で求めた$a_n$に対して,$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$,$x$軸,および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする.$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい.
(1) 曲線$y=f_n(x)$上の点$(a_n,\ f_n(a_n))$における接線が原点を通るとき,$a_n$を$n$の式で表せ.ただし,$a_n>0$とする.
(2) $0 \leqq x \leqq 1$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を$B_n$とする.また,$(1)$で求めた$a_n$に対して,$0 \leqq x \leqq a_n$の範囲で,曲線$y=f_n(x)$,$x$軸,および直線$x=a_n$で囲まれた図形の面積を$C_n$とする.$B_n$および$C_n$を$n$の式で表せ.
(3) $(2)$で求めた$B_n$および$C_n$に対して,極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{C_n}{B_n}$を求めよ.ただし,$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \left( 1+\frac{1}{n} \right)^n$が自然対数の底$e$であることを用いてよい.
類題(関連度順)
![](./thumb/100/767/2016_23s.png)
![](./thumb/713/2938/2011_1s.png)
コメント(0件)
現在この問題に関するコメントはありません。
書き込むにはログインが必要です。