獨協医科大学
2015年 医学部 第2問
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![正n角形P_1P_2P_3・・・P_n(nは4以上の整数)をKとする.Kの頂点と各辺の中点の合計2n個の点から異なる3点を選び,それらを線分で結んでできる図形をTとする.(ただし,Kの1つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を1辺とする三角形,例えば辺P_1P_2の中点をM_1として,三角形P_1M_1P_3なども「Kと辺を共有する三角形」とする.)(1)n=5とする.Tが三角形となる確率は\frac{[アイ]}{[ウエ]}である.Tが二等辺三角形となる確率は\frac{[オ]}{[カキ]}である.TがKと辺を共有しない三角形となる確率は\frac{[ク]}{[ケ]}である.(2)Tが三角形となる確率は\frac{[コ]n^2-[サ]n-[シ]}{[ス]([セ]n-[ソ])(n-[タ])}である.TがKと辺を共有しない三角形となる確率は\frac{[チ]n^2-[ツテ]n+[トナ]}{([セ]n-[ソ])(n-[タ])}である.](./thumb/101/2273/2015_2.png)
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正$n$角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \cdots \mathrm{P}_n$($n$は$4$以上の整数)を$K$とする.$K$の頂点と各辺の中点の合計$2n$個の点から異なる$3$点を選び,それらを線分で結んでできる図形を$T$とする.(ただし,$K$の$1$つの頂点とそれに隣接する中点の一方を結ぶ線分を$1$辺とする三角形,例えば辺$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2$の中点を$\mathrm{M}_1$として,三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{M}_1 \mathrm{P}_3$なども「$K$と辺を共有する三角形」とする.)
(1) $n=5$とする.
$T$が三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$である.
$T$が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}$である.
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(2) $T$が三角形となる確率は \[ \frac{\fbox{コ}n^2-\fbox{サ}n-\fbox{シ}}{\fbox{ス}(\fbox{セ}n-\fbox{ソ})(n-\fbox{タ})} \] である.
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は \[ \frac{\fbox{チ}n^2-\fbox{ツテ}n+\fbox{トナ}}{(\fbox{セ}n-\fbox{ソ})(n-\fbox{タ})} \] である.
(1) $n=5$とする.
$T$が三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{アイ}}{\fbox{ウエ}}$である.
$T$が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{オ}}{\fbox{カキ}}$である.
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は$\displaystyle \frac{\fbox{ク}}{\fbox{ケ}}$である.
(2) $T$が三角形となる確率は \[ \frac{\fbox{コ}n^2-\fbox{サ}n-\fbox{シ}}{\fbox{ス}(\fbox{セ}n-\fbox{ソ})(n-\fbox{タ})} \] である.
$T$が$K$と辺を共有しない三角形となる確率は \[ \frac{\fbox{チ}n^2-\fbox{ツテ}n+\fbox{トナ}}{(\fbox{セ}n-\fbox{ソ})(n-\fbox{タ})} \] である.
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コメント(1件)
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