山形大学
2013年 工学部 第4問
4
4
行列
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{3}{2} & -1 \\
1 & -\displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right),\quad B=\left( \begin{array}{cc}
p & -2 \\
1 & q
\end{array} \right),\quad J=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & 1 \\
0 & \displaystyle\frac{1}{2}
\end{array} \right) \]
が$AB=BJ$を満たすとき,次の問いに答えよ.ただし,$p,\ q$は定数であり,以下で用いる$n$は自然数である.
(1) $p,\ q$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1+2n & -2n \\ 2n & 1-2n \end{array} \right)$を示せ.
(4) 行列$A^n$の表す$1$次変換により,$xy$平面上の点$(p,\ 1)$,$(-2,\ q)$が,それぞれ点$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$に移される.原点を$\mathrm{O}$として,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ.
(1) $p,\ q$の値を求めよ.
(2) $\displaystyle J^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1 & 2n \\ 0 & 1 \end{array} \right)$を示せ.
(3) $\displaystyle A^n=\frac{1}{2^n} \left( \begin{array}{cc} 1+2n & -2n \\ 2n & 1-2n \end{array} \right)$を示せ.
(4) 行列$A^n$の表す$1$次変換により,$xy$平面上の点$(p,\ 1)$,$(-2,\ q)$が,それぞれ点$\mathrm{P}_n$,$\mathrm{Q}_n$に移される.原点を$\mathrm{O}$として,$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_n$と$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}_n$のなす角を$\theta_n$とするとき,$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\cos \theta_n$を求めよ.
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