山形大学
2012年 医学部 第2問
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数列$\{a_n\}$が条件
\[ a_1=-\frac{1}{4},\quad a_{n+1}={a_n}^2-\frac{1}{4} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
によって定められている．このとき，次の問に答えよ．
(1) 不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) 不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) 不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) 不等式 \[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
(1) 不等式$\displaystyle -\frac{1}{4} \leqq a_n<0 \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(2) 不等式$a_{2n-1}<a_{2n+1} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(3) 不等式$a_{2n}>a_{2n+2} \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$が成り立つことを示せ．
(4) 不等式 \[ 0<a_{2n}-a_{2n-1} \leqq \left( \frac{1}{2} \right)^{2(n+1)} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \] が成り立つことを示せ．
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