電気通信大学
2012年 理系 第3問
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![aを正の定数とし,次のように定められた2つの数列{a_n},{b_n}を考える.{\begin{array}{ll}a_1=a,a_{n+1}=1/2(a_n+\frac{4}{a_n})&(n=1,2,3,・・・)\\b_n=\frac{a_n-2}{a_n+2}&(n=1,2,3,・・・)\end{array}.このとき,以下の問いに答えよ.(1)-1<b_1<1であることを示せ.(2)b_{n+1}をa_nを用いて表せ.さらに,b_{n+1}をb_nを用いて表せ.(3)b_3,b_4をそれぞれb_1を用いて表せ.さらに,数列{b_n}の一般項b_nをnとb_1を用いて表せ.(4)数列{a_n}の一般項a_nをnとb_1を用いて表せ.(5)極限値\lim_{n→∞}a_nを求めよ.](./thumb/178/2358/2012_3.png)
3
$a$を正の定数とし,次のように定められた$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を考える.
\[ \left\{
\begin{array}{ll}
a_1=a,\quad a_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{2} \left( a_n+\displaystyle\frac{4}{a_n} \right) & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \\
b_n=\displaystyle\frac{a_n-2}{a_n+2} & (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)
\end{array}
\right. \]
このとき,以下の問いに答えよ.
(1) $-1<b_1<1$であることを示せ.
(2) $b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.さらに,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3) $b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ.さらに,数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
(1) $-1<b_1<1$であることを示せ.
(2) $b_{n+1}$を$a_n$を用いて表せ.さらに,$b_{n+1}$を$b_n$を用いて表せ.
(3) $b_3,\ b_4$をそれぞれ$b_1$を用いて表せ.さらに,数列$\{b_n\}$の一般項$b_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ.
(4) 数列$\{a_n\}$の一般項$a_n$を$n$と$b_1$を用いて表せ.
(5) 極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n$を求めよ.
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