明治大学
2012年 理工学部 第3問
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行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は,$a+d-1=ad-bc$を満たすとする.また,数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする.座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し,$\mathrm{O}$は原点とする.点$\mathrm{O}$,$\mathrm{P}_0$,$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し,$g=ad-bc$とおく.
以下の$\fbox{}$にあてはまるものを,$g,\ n$を用いて表せ.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=(\fbox{え}) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+(\fbox{お}) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である.
(2) $g \neq 1$のとき \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{\fbox{か}}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{\fbox{き}}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] である.
(3) $|g|<1$のとき \[ \begin{array}{l} \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{く}x_1+\fbox{け}x_0 \\ \lim_{n \to \infty}y_n=\fbox{く}y_1+\fbox{け}y_0 \end{array} \] である.
(4) $0<g<1$とする.点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$\fbox{こ}:1$に外分する.
(1) $\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=(\fbox{え}) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+(\fbox{お}) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である.
(2) $g \neq 1$のとき \[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{\fbox{か}}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{\fbox{き}}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \] である.
(3) $|g|<1$のとき \[ \begin{array}{l} \lim_{n \to \infty}x_n=\fbox{く}x_1+\fbox{け}x_0 \\ \lim_{n \to \infty}y_n=\fbox{く}y_1+\fbox{け}y_0 \end{array} \] である.
(4) $0<g<1$とする.点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$\fbox{こ}:1$に外分する.
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