岐阜大学
2016年 理系 第4問
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![nを正の整数とする.S_n=Σ_{k=1}^n\frac{1}{k・2^k}とおく.以下の問に答えよ.ただし,logは自然対数を表す.(1)1+x+x^2+・・・+x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,x≠1とする.(2)∫_0^{1/2}(1+x+x^2+・・・+x^{n-1})dx=log2-∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dxを示せ.(3)S_n=log2-∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dxを示せ.(4)0≦∫_0^{1/2}\frac{x^n}{1-x}dx≦\frac{1}{2^n}log2を示せ.(5)\lim_{n→∞}S_n=\frac{1}{1・2}+\frac{1}{2・2^2}+\frac{1}{3・2^3}+・・・の値を求めよ.](./thumb/385/2485/2016_4.png)
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$n$を正の整数とする.$\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k \cdot 2^k}$とおく.以下の問に答えよ.ただし,$\log$は自然対数を表す.
(1) $\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(3) $\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(4) $\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
(1) $\displaystyle 1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}=\frac{1}{1-x}-\frac{x^n}{1-x}$を数学的帰納法を用いて証明せよ.ただし,$x \neq 1$とする.
(2) $\displaystyle \int_0^{\frac{1}{2}} (1+x+x^2+\cdots +x^{n-1}) \, dx=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(3) $\displaystyle S_n=\log 2-\int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx$を示せ.
(4) $\displaystyle 0 \leqq \int_0^{\frac{1}{2}} \frac{x^n}{1-x} \, dx \leqq \frac{1}{2^n} \log 2$を示せ.
(5) $\displaystyle \lim_{n \to \infty} S_n=\frac{1}{1 \cdot 2}+\frac{1}{2 \cdot 2^2}+\frac{1}{3 \cdot 2^3}+\cdots$の値を求めよ.
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