九州工業大学
2014年 工学部 第3問
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![関数s(t)はつねにs´(t)>0をみたし,s(0)=0とする.座標平面上を運動する点Pの座標(x,y)は,時刻tの関数としてx=s(t),y=1/2{s(t)}^2で与えられ,点Pの速度ベクトルv=(dx/dt,dy/dt)は|ベクトルv|=\frac{1}{\sqrt{1+{s(t)}^2}}をみたすとする.また,α=s(-4/3),β=s(4/3)とおく.次に答えよ.(1)dx/dt=f(x)が成り立つように関数f(x)を定めよ.(2)4/3=∫_{-4/3}^0\frac{1}{f(x)}dx/dtdt,4/3=∫_0^{4/3}\frac{1}{f(x)}dx/dtdtを用いて,αとβの値を求めよ.(3)\frac{d^2x}{dt^2}=g(x)が成り立つように関数g(x)を定めよ.また,α≦x≦βのときg(x)が最大となるxの値を求めよ.](./thumb/678/3144/2014_3.png)
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関数$s(t)$はつねに$s^\prime(t)>0$をみたし,$s(0)=0$とする.座標平面上を運動する点$\mathrm{P}$の座標$(x,\ y)$は,時刻$t$の関数として$x=s(t)$,$\displaystyle y=\frac{1}{2} \{s(t)\}^2$で与えられ,点$\mathrm{P}$の速度$\displaystyle \overrightarrow{v}=\left( \frac{dx}{dt},\ \frac{dy}{dt} \right)$は
\[ |\overrightarrow{v}|=\frac{1}{\sqrt{1+\{s(t)\}^2}} \]
をみたすとする.また,$\displaystyle \alpha=s \left( -\frac{4}{3} \right)$,$\displaystyle \beta=s \left( \frac{4}{3} \right)$とおく.次に答えよ.
(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ.
(2) $\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$,$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて,$\alpha$と$\beta$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ.また,$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ.
(1) $\displaystyle \frac{dx}{dt}=f(x)$が成り立つように関数$f(x)$を定めよ.
(2) $\displaystyle \frac{4}{3}=\int_{-\frac{4}{3}}^0 \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$,$\displaystyle \frac{4}{3}=\int_0^{\frac{4}{3}} \frac{1}{f(x)} \frac{dx}{dt} \, dt$を用いて,$\alpha$と$\beta$の値を求めよ.
(3) $\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2}=g(x)$が成り立つように関数$g(x)$を定めよ.また,$\alpha \leqq x \leqq \beta$のとき$g(x)$が最大となる$x$の値を求めよ.
類題(関連度順)
![](./thumb/10/2251/2014_4s.png)
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