豊橋技術科学大学
2015年 工学部 第1問
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直線$L$を$2x+y=4n$とする.ただし,$n$は自然数とする.原点を$\mathrm{O}$とし,直線$L$と$x$軸との交点を$\mathrm{A}$,直線$L$と$y$軸との交点を$\mathrm{B}$とした三角形$\mathrm{OAB}$を考える.以下の問いに答えよ.
(1) 交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 直線$M$を$x=k$(ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$)とするとき,直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3) $(2)$の直線$M$上の格子点($x$座標および$y$座標がともに整数である点)のうち,三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ.
(5) 三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ.また,$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
(1) 交点$\mathrm{A}$および交点$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ求めよ.
(2) 直線$M$を$x=k$(ただし$k=0,\ 1,\ \cdots,\ 2n$)とするとき,直線$L$と直線$M$の交点$\mathrm{P}$の座標を求めよ.
(3) $(2)$の直線$M$上の格子点($x$座標および$y$座標がともに整数である点)のうち,三角形$\mathrm{OAB}$の周上および内部にある格子点の総数$T_k$を求めよ.
(4) 三角形$\mathrm{OAB}$の周上にある格子点および内部にある格子点の総数$T_n$を求めよ.
(5) 三角形$\mathrm{OAB}$の面積$S_n$を求めよ.また,$(4)$で得られた格子点の総数$T_n$と面積$S_n$の比に関する次の極限を求めよ. \[ \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{S_n} \]
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